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浅谈二次函数在中阶段的应用

发布日期:2016-10-01 13:08:18 浏览次数:

   

  中山市第一中学:常洁
  在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初东莞中小学东莞中小学东莞中小学东莞中小学初辅导辅导辅导辅导基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入中以后,尤其是三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。


  一、进一步深入理解函数概念


  初中阶段已经讲述了函数的定义,进入中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为ƒ(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

    类型I:已知ƒ(x)=2x2+x+2,求ƒ(x+1)
  这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。


  类型Ⅱ:设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)
  这个问题理解为,已知对应法则ƒ下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。
  一般有两种方法:
  (1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
  ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6
  (2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
  令t=x+1,则x=t-1∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)=x2-6x+6


  二、二次函数的单调性,最值与图象。


  在中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a]及[-b2a,+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。


  类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。
  (1)y=x2+2|x-1|-1
  (2)y=|x2-1|
  (3)=x2+2|x|-1
  这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。


  类型Ⅳ:设ƒ(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
  求:g(t)并画出y=g(t)的图象
  解:ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2
  当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2
  当t>1时,g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1
  当t<0时,g(t)=ƒ(t+1)=t2-2
  t2-2,(t<0)
  g(t)=-2,(0≤t≤1)
  t2-2t-1,(t>1)
  首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。
  如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。


  三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维:


  类型Ⅴ:设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1a。
  (Ⅰ)当X∈(0,x1)时,证明X<ƒ(x)<x1。
  (Ⅱ)设函数ƒ(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0<x2。
  解题思路:
  本题要证明的是x<ƒ(x),ƒ(x)<x1和x0<x2,由题中所提供的信息可以联想到:①ƒ(x)=x,说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程ƒ(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0,它的两根为x1,x2,可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式,因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式,辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题:
  (Ⅰ)先证明x<ƒ(x),令ƒ(x)=ƒ(x)-x,因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根,ƒ(x)=ax2+bx+c,所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)
  因为0<x1<x2,所以,当x∈(0,x1)时,x-x1<0,x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,因此ƒ(x)>0,即ƒ(x)-x>0.至此,证得x<ƒ(x)
  根据韦达定理,有x1x2=ca∵0<x1<x2<1a,c=ax1x2<x=ƒ(x1),又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1),根据二次函数的性质,曲线y=ƒ(x)是开口向上的抛物线,因此,函数y=ƒ(x)在闭区间[0,x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到,而且不可能在区间的内部达到,由于ƒ(x1)>ƒ(0),所以当x∈(0,x1)时ƒ(x)<ƒ(x1)=x1,
  即x<ƒ(x)<x1
  (Ⅱ)∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+-b2a)2+(c-),(a>0)
  函数ƒ(x)的图象的对称轴为直线x=-b2a,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-b2a,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-b-1a,∵x2-1a<0,
  ∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)<x2,即x0=x2。
  二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
  二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在中数学教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入。